Dans cette partie nous résoudrons tous les systèmes différentiels par la méthode de Runge-Kutta précédemment exposée.

% Pas besoin de rappeler le titre de la partie.
% Vous ne disposer que de SUBSECTION pour structurer le rapport de votre partie
% Nous vous incitons à suivre le plan suivant : (en renommant à votre gré)
\subsection{Modèle de \bsc{Malthus}}
Une première modélisation malthusienne de l'évolution d'une population consiste 
en la seule mesure du taux de mortalité $a$ et du taux de mortalité $b$ pour obtenir
l'équation :\\
$$\boxed{\frac{\partial N(t)}{\partial t} = (a - b)N(t)}$$

Ce modèle simpliste se résout de manière analytique avec $y : x \rightarrow N(0)e^{(a-b)x}$.
Numériquement nous obtenons les résultats suivants :
\begin{figure}[!h]
\centering
\includegraphics[scale=0.355]{malthuspositif.png}~~~~~~~
\includegraphics[scale=0.355]{malthusnegatif.png}
\caption{Évolution de la population pour différentes conditions initiales}
\end{figure}

Nous pouvions prévoir ces résultats de manière intuitive. En effet, si le taux de mortalité est supérieur au taux de natalité, le bilan résultant est négatif et donc la population diminue. Inversement, si le taux de natalité est supérieur au taux de mortalité, le bilan résultant est positif et donc la population augmente.

\subsection{Modèle de Verhulst}

\begin{wrapfigure}[14]{l}{8cm}
\centering
\includegraphics[scale=0.355]{verhulst.png}
\caption{Variation du nombre maximal d'individu}% supporté par l'environnement}
\end{wrapfigure}

Le modèle de population établi par Verhulst met en jeu deux facteurs : le taux
de croissance $\gamma$ de la population et le nombre maximal d'individu $\kappa$ que
l'environnement peut supporter. Nous obtenons ainsi :
$$\boxed{\frac{\partial N(t)}{\partial t} = \gamma N(t)\left(1 - \frac{N(t)}{\kappa}\right)}$$

Ce problème devient de Cauchy lorsque l'on ajoute des conditions initiales pour le nombre d'individu au temps $t = 0$.
Notons aussi qu'il existe une solution analytique à ce problème.
Le graphique de la Figure 5 montre l'implémentation de ce modèle pour deux initialisations différentes.\\

Cette représentation semble peut crédible car seul le nombre $\kappa$ maximal d'invidu semble être vraiment
déterminant. De plus, ce système ne prend pas en compte d'autres espèces. Ce qui est peu représentatif de la réalité car l'évolution d'une population est souvent liée à un système proies/prédateurs.

\subsection{Modèle de \bsc{Lotka-Volterra}}
Le modèle de population \bsc{Lotka-Volterra} considère l'interaction entre deux 
populations et nécessite deux constantes pour chaque espèce. Nous supposons que les 
proies ne peuvent mourir de faim. Leur taux de mortalité est alors relié par la constante $\beta$ à 
la probabilité d'être mangé par un prédateur, et donc au nombre de prédateur. Une seconde 
constante $\alpha$ se doit aussi de juger de la rapidité de reproduction de l'espèce proie, 
ce qui nous donne une première équation $(1)$. Pour les prédateurs $(2)$, nous supposons 
que leur durée de vie soit proportionnelle au nombre de leurs proies selon un coefficient 
$\delta$ et nous caractérisons leur taux de mortalité par une constante $\gamma$. Nous obtenons 
ainsi le système différentiel :
\begin{eqnarray}
\frac{\partial x(t)}{\partial t} = x(\alpha - \beta y)\\
\frac{\partial y(t)}{\partial t} = y (\delta x - \gamma)
\end{eqnarray}

Notons qu'encore une fois ce modèle peut être résolu de manière analytique.
La résolution numérique que nous avons implémenté nécessite donc des valeurs pour ces constantes, 
nous avons choisi de prendre des initialisations trouvées sur d'autres sites liés au sujet. Nous
avons ainsi obtenu :\\
\begin{figure}[!h]
\centering
\includegraphics[scale=0.355]{lotka2.png}~~~~~~~
\includegraphics[scale=0.355]{lotka3.png}
\caption{à droite : un cas ``général'' et à gauche : un point d'équilibre}
\end{figure}

Les solutions constantes vérifient alors $0 = x(\alpha - \beta y)$ et $0 = y (\delta x - \gamma)$. En supposant $x,y \neq 0$, on obtient donc : $x = \frac{\gamma}{\delta}$ et $y = \frac{\alpha}{\beta}$. Nous avons donc exhibé deux points d'équilibre que nous notons : $A = (0, 0)$ et $B = (\frac{\gamma}{\delta}, \frac{\alpha}{\beta})$. Ce phénomène s'observe sur le graphique de la Figure 7.

\begin{wrapfigure}[13]{l}{10cm}
\centering
\includegraphics[scale=0.355]{lotka1.png}
\caption{Nombre de prédateur en fonction du nombre de proie}
\end{wrapfigure}
~\\

Le point $A$ est un point d'équilibre instable puisque pour une toute petite variation des 
conditions initiales nous obtenons de grandes variations du nombre d'individu de chaque espèce.\\
\\
A contrario, le point $B$ est un point d'équilibre. Remarque : le sens physique de ce graphique
se retrouve dans le fait que celui-ci se parcourt dans le sens trigonométrique en fonction du temps.\\
\\

Nous avons ainsi pu observer trois méthodes différentes pour simuler l'évolution d'une population.
La dernière méthode, de Lotka-Volterra, apparaît comme la plus pertinente mais elle nous a aussi
amené à étudier un système différentiel plus complexe (à deux inconnues). Enfin, remarquons que 
l'ensemble des systèmes résolues ici numériquement aurait pu être résolu de manière exacte. Pourtant,
les méthodes de résolution établies dans la partie précédente est applicable à tout problème de Cauchy.
D'autres algorithmes sont demandés dans le sujet tels que le calcul approché des périodes ou la 
variation des conditions initiales. Ce travail a été fait mais ne concerne plus vraiment la 
résolution de système d'équations différentielles.
%\subsection{Comparaison / Conclusion}
% Comparaison en terme de convergence (SCHEMA) ou bien en terme de complexité (\mathcal{0}).
% Quelle méthode choisir ? En deux trois ligne
